一次家庭功课不测科罚40年前的数学估量,牛津小哥:我只询查了几个礼拜

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    一次家庭功课不测科罚40年前的数学估量,牛津小哥:我只询查了几个礼拜
    发布日期:2022-03-24 16:01    点击次数:178
    晓查 萧箫 发自 凹非寺量子位 | 公众号 QbitAI

    仅仅完成一次庸碌家庭功课,就把困扰了数学家们几十年的估量搞出了新项目?!

    没错,这是来自牛津大学的Thomas Bloom的切身资格。

    在一次阅读小组的论文共享上,他被要求解读一篇2003年发表在《数学年刊》上的经典论文。

    这篇论文阐述了一个与“最迂腐数知识题”埃及分数相关的估量。

    浅易来说,估量认为:将大于1的整数随性分红有限个子集,势必有一个子集结的部分整数倒数加起来为1,举例只消有一个子集结有2、3、6,就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

    这一估量被定名为Erdős-Graham估量。

    关联词,这版2003年的阐述还有好多待解决的疑忌:

    Thomas Bloom在解读论文的经过中,也发现这版阐述春联集的要求有点高,好多疏淡情况下没目的培植。

    再仔细一看,他一霎发现,这版阐述还存在着不错接续改善的方位!

    于是借着此次交功课的契机,Thomas Bloom在这篇论文的基础上刻薄了一种“强化版”阐述思绪,扫数这个词经过以致只用了几周时刻。

    就连数论限度闻名学者、蒙特利尔大学老师Andrew Granvill都惊叹这种做法的不行思议:

    此前我仅仅合计,这是一个不行能被解决的问题,任何头脑普通的人都没法做到。

    是以,这一估量究竟是什么,Bloom的阐述情势又究竟“不行思议”在何处?

    一个与“最迂腐数知识题”相关的估量

    在数学里,随性有理数都不错暗意身分数,且分子分母都是整数。

    可是在3000多年前的古埃及,他们的分数独一分子为1一种情况,咱们咫尺叫它单元分数。

    也就是说,他们的字典里莫得“3/4”这类东西,因为3/4也需要被写成1/4+1/2。

    古埃及的笔墨里,一只眼睛底下放一个数字就代表了一个单元分数。

    从1到100万都有相应的图形。

    固然它和咱们咫尺的数学相去甚远,但其实扫数分数都不错写成单元分数之和的体式。

    因此这种暗意情势被称作古埃及分数。

    阐明,1也不错写成古埃及分数:1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

    这个看似浅易的问题齐人好猎,1970年代,闻名数学家Paul Erdős和Ronald Graham刻薄了一个对于古埃及分数的估量:

    把正整数分手红些许个子集,那么势必有一个子集结存在一组数,不错把1暗意成古埃及分数体式。

    △从左至右按序为Paul Erdős和Ronald Graham老婆

    (注:Ronald Graham中语名“葛立恒”,就是刻薄葛立恒数的那位数学家。)

    比如上头的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6,某个子集结包含这2、3、6这三个数,就不错做到。

    那么要是很不巧,2、3、6被分拨到不同的子集结,还不错把1拆成古埃及分数体式吗?

    其实亦然不错的,包含{2、3、12、18、36}一组整数也行:

    暗意1的情势千千万,总有得当条目一组数高慢条目。

    达特茅斯学院的数论学者Carl Pomerance对此评价道:“这可能是有史以来最迂腐的问题。”

    没预料的是,这个最迂腐的问题最近又发出新芽。

    来自牛津大学的数学家Thomas Bloom最近不但刻薄了比Erdős更猛烈的“强化版”,还亲自阐述了它。

    几周就阐述了一个“加强版”

    那篇近20年前的论文,由一位名叫Ernie Croot的数学家撰写,2003年发表在数学限度顶级期刊《数学年刊》上。

    他解决Erdős-Graham问题的“基础版块”。

    把扫数整数就地分拨到不同的桶里,至少有一个桶必须包含一组整数,其倒数和等于1。

    Bloom仔细阅读后发现,Croot的情势本色上比首先看起来更盛大:“是以我询查了几周,这个更盛大的成果就出来了。”

    Bloom给出的论断是,并不需要把整数分红些许个有限集结,只消集结高慢“正密度”的条目,那么这个集结就存在一组整数倒数和为1。

    所谓“正密度”是指某一组整数在整体正整数里所占的比例,比如偶数的密度是0.5。

    假如有一组整数集结记作A,在前n项中不大于n的项记作α,当n趋于无尽大时,α/n极限就是叫做A的当然密度。

    而Bloom刻薄而条目是密度大于零即可,岂论这个密度多低(10%、1%、0.0001%以致更低),这阐明比把整数分红有限份的条目愈加尖刻。

    嗯,充分阐述哪怕是“读论文”这种科研功课,也要正经少许,说不定读着读着灵感就来了(手动狗头)

    作家先容

    Thomas Bloom,咫尺在牛津大学进行数学方面的询查使命,获取过英国皇家学会大学询查金,后者专诚用于给各限度凸起年青科学家提供科研资金。

    Bloom曾于布里斯托大学获取博士学位,并在剑桥大学进行过博士后相关使命,本科毕业于牛津大学数学与形而上学专科。

    在进行这项询查之前,他也仍是和获取过“数论界最高奖”柯尔奖的牛津大学老师James Maynard协作,完成过一篇对于无方差集的论文。

    One More Thing

    对于随性有理数,咱们都不错用浅易的算法找到古埃及分数暗意。

    最常用的等于贪默算法。

    以7/15为例,咱们先找到最接近它的单元分数1/3,得到:

    7/15 = 1/3 + 2/15

    接着寻找最接近剩余项2/15的单元分数,即1/8。按序类推,直到剩余项亦然单元分数戒指。

    7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120

    若何寻找最接近的单元分数呢?将分母除以分子并进取取整即可。

    以下是Python版的代码:

    # Python3 program to print a fraction# in Egyptian Form using Greedy# Algorithm# import math package to use# ceiling functionimport math# define a function egyptianFraction# which receive parameter nr as# numerator and dr as denominatordef egyptianFraction(nr, dr):    print("The Egyptian Fraction " +          "Representation of {0}/{1} is".                format(nr, dr), end="\n")    # empty list ef to store    # denominator    ef = []    # while loop runs until    # fraction becomes 0 i.e,    # numerator becomes 0    while nr != 0:        # taking ceiling        x = math.ceil(dr / nr)        # storing value in ef list        ef.append(x)        # updating new nr and dr        nr = x * nr - dr        dr = dr * x    # printing the values    for i in range(len(ef)):        if i != len(ef) - 1:            print(" 1/{0} +" .                    format(ef[i]), end = " ")        else:            print(" 1/{0}" .                    format(ef[i]), end = " ")# calling the functionegyptianFraction(6, 14)# This code is contributed# by Anubhav Raj Singh

    你能写出其他谈话的版块,或是写出其他古埃及分数算法的代码吗?

    参考相连:[1]https://www.quantamagazine.org/maths-oldest-problem-ever-gets-a-new-answer-20220309/[2]https://twitter.com/thomasfbloom[3]https://www.youtube.com/watch?v=yBtluQoghXA[4]https://www.geeksforgeeks.org/greedy-algorithm-egyptian-fraction/[5]https://en.wikipedia.org/wiki/Erdős–Graham_problem[6]http://thomasbloom.org/aboutme.html[7]https://annals.math.princeton.edu/2003/157-2/p04

    — 完 —

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